كيف تحل معادلة تربيعية

القانون العام

لـ ax² + bx + c = 0 مع a ≠ 0:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

يعمل مع أي معادلة تربيعية، ولهذا يستحق الحفظ حتى لو كان التحليل أسرع حين ينجح.

مثال

2x² + 5x − 3 = 0، إذن a = 2 وb = 5 وc = −3.

• b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
• √49 = 7.
• x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0.5، وx = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.

نتحقق من واحدة: 2(0.25) + 2.5 − 3 = 0. ✓

المميز يخبرك بما تتوقعه

يسمى b² − 4ac المميز.

• موجب: جذران حقيقيان مختلفان، ويقطع القطع المكافئ محور x مرتين.
• صفر: جذر مكرر عند x = −b/2a، حيث يلمس القطع المكافئ المحور فقط.
• سالب: لا جذور حقيقية. الحلان زوج من الأعداد المركبة المترافقة، (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.

والمميز الذي هو مربع كامل يعني أيضًا أن المعادلة تتحلل بأعداد صحيحة، ومعرفة ذلك مفيدة قبل المحاولة.

التحليل، حين ينجح

لـ x² + 7x + 12، ابحث عن عددين حاصل ضربهما 12 ومجموعهما 7: 3 و4. إذن (x + 3)(x + 4) = 0 وx = −3 أو −4. ومع معامل أمام x² يطول البحث، وإن لم يكن المميز مربعًا كاملًا فلا شيء لتجده. جرّب التحليل بضع ثوانٍ ثم استخدم القانون.

إكمال المربع

x² + 6x + 5 = 0 ← (x + 3)² − 9 + 5 = 0 ← (x + 3)² = 4 ← x = −3 ± 2، أي −1 أو −5. للحل هو أبطأ من القانون، لكنه طريقة اشتقاق القانون ويعطي الرأس مباشرة: (x + 3)² − 4 تعني أن القيمة الصغرى عند (−3, −4).

الرأس والمجموع والضرب

• الرأس عند x = −b/2a، نقطة المنتصف بين الجذرين.
• مجموع الجذرين −b/a وحاصل ضربهما c/a، وهذا تحقق سريع من أي نتيجة.

في المثال أعلاه: المجموع = −5/2 = −2.5، و0.5 + (−3) = −2.5. ✓

الأدوات

تعطي حاسبة المعادلات التربيعية الجذرين، الحقيقيين أو المركبين، مع المميز والرأس.