Kök formülü
a ≠ 0 olmak üzere ax² + bx + c = 0 için:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Her ikinci dereceden denklemde işe yarar; çarpanlara ayırma işe yaradığında daha hızlı olsa da ezberlemeye değmesinin nedeni budur.
Çözümlü bir örnek
2x² + 5x − 3 = 0; yani a = 2, b = 5, c = −3.
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49.
- √49 = 7.
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0,5 ve x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3.
Birini kontrol et: 2(0,25) + 2,5 − 3 = 0. ✓
Diskriminant neyi beklemen gerektiğini söyler
b² − 4ac’ye diskriminant (Δ) denir.
- Pozitif: iki farklı reel kök; parabol x eksenini iki kez keser.
- Sıfır: x = −b/2a’da tek bir çift katlı kök; parabol eksene yalnızca teğet olur.
- Negatif: reel kök yok. İki çözüm bir karmaşık eşlenik çifttir: (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a.
Tam kare bir diskriminant ayrıca denklemin tam sayılarla çarpanlara ayrıldığı anlamına gelir; bunu denemeden önce bilmek faydalıdır.
Çarpanlara ayırma, işe yaradığında
x² + 7x + 12 için çarpımı 12, toplamı 7 olan iki sayı bul: 3 ve 4. Yani (x + 3)(x + 4) = 0 ve x = −3 ya da −4. Baş katsayı varsa arama daha uzundur ve diskriminant tam kare değilse bulunacak bir şey yoktur. Birkaç saniye çarpanlara ayırmayı dene, sonra formülü kullan.
Tam kareye tamamlama
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2; yani −1 ya da −5. Çözmek için formülden yavaştır, ama formül böyle türetilir ve tepe noktasını doğrudan verir: (x + 3)² − 4, en küçük değerin (−3, −4)’te olduğu anlamına gelir.
Tepe noktası, toplam ve çarpım
- Tepe noktası x = −b/2a’da, iki kökün orta noktasında.
- Köklerin toplamı −b/a, çarpımı c/a’dır; bu her cevap için hızlı bir kontroldür.
Yukarıdaki örnek için: toplam = −5/2 = −2,5 ve 0,5 + (−3) = −2,5. ✓
Araçlar
İkinci dereceden denklem çözücü iki kökü, reel ya da karmaşık, diskriminant ve tepe noktasıyla birlikte verir.