দ্বিঘাত সূত্র
a ≠ 0 নিয়ে ax² + bx + c = 0-র জন্য:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
তা প্রতিটি দ্বিঘাতেই চলে, তাই উৎপাদকে ভাঙা যখন খাটে তখন দ্রুত হলেও এটি মুখস্থ রাখার মতোই।
একটি কষে দেখানো উদাহরণ
2x² + 5x − 3 = 0, তাই a = 2, b = 5, c = −3।
- b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49।
- √49 = 7।
- x = (−5 + 7) ÷ 4 = 0.5, আর x = (−5 − 7) ÷ 4 = −3।
একটি মিলিয়ে দেখুন: 2(0.25) + 2.5 − 3 = 0। ✓
নিশ্চায়ক আপনাকে বলে দেয় কী আশা করবেন
b² − 4ac-কে বলা হয় নিশ্চায়ক।
- ধনাত্মক: দুটি আলাদা বাস্তব বীজ, আর পরাবৃত্তটি x-অক্ষ দুবার কাটে।
- শূন্য: x = −b/2a-তে একটি পুনরাবৃত্ত বীজ, যেখানে পরাবৃত্তটি অক্ষটি কেবল ছুঁয়ে যায়।
- ঋণাত্মক: কোনো বাস্তব বীজ নেই। দুটি সমাধান একটি জটিল অনুবন্ধী জোড়া, (−b ± i√(4ac − b²)) ÷ 2a।
একটি পূর্ণবর্গ নিশ্চায়ক মানেও সমীকরণটি পূর্ণসংখ্যার ওপরে উৎপাদকে ভাঙে, যা চেষ্টা করার আগে জেনে রাখা কাজে লাগে।
উৎপাদকে ভাঙা, যখন তা খাটে
x² + 7x + 12-র জন্য এমন দুটি সংখ্যা খুঁজুন যা গুণ করে 12 আর যোগ করে 7: 3 আর 4। তাই (x + 3)(x + 4) = 0 আর x = −3 কিংবা −4। সামনের গুণাঙ্ক থাকলে খোঁজ লম্বা হয়, আর নিশ্চায়ক পূর্ণবর্গ না হলে খোঁজার কিছুই নেই। কয়েক সেকেন্ড উৎপাদকে ভাঙার চেষ্টা করুন, তারপর সূত্রটিই নিন।
বর্গ পূরণ করা
x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² − 9 + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x = −3 ± 2, অর্থাৎ −1 কিংবা −5। কষার জন্য তা সূত্রের চেয়ে ধীর, তবে সূত্রটি এভাবেই বের করা হয়, আর তা শীর্ষবিন্দুটি সোজাই দেয়: (x + 3)² − 4 মানে সবচেয়ে কম মানটি (−3, −4)-এ।
শীর্ষবিন্দু, যোগফল আর গুণফল
- শীর্ষবিন্দু x = −b/2a-তে, অর্থাৎ দুটি বীজের মাঝবিন্দুতে।
- বীজগুলো যোগ করে −b/a আর গুণ করে c/a, যা যেকোনো উত্তর চটজলদি মিলিয়ে দেখার পথ।
ওপরের উদাহরণে: যোগফল = −5/2 = −2.5, আর 0.5 + (−3) = −2.5। ✓
সরঞ্জাম
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান দুটি বীজই দেয়, বাস্তব হোক কি জটিল, আর তার সঙ্গে নিশ্চায়ক ও শীর্ষবিন্দু।