Spannung, Dehnung und Tragwerke: Lernleitfaden

Kernideen

Werkstoffe und Tragwerke werden durch Spannung und Dehnung beschrieben. Spannung ist Kraft pro Fläche, Dehnung ist die relative Verformung, und für einen Werkstoff ist das Verhältnis beider eine Konstante, der Elastizitätsmodul.

• Die Spannung ist σ = F ÷ A in Pascal. Verwende die Querschnittsfläche, die die Last trägt.
• Die Dehnung ist ε = ΔL ÷ L₀. Sie hat keine Einheit und wird oft in Prozent angegeben.
• Der Elastizitätsmodul E = σ ÷ ε gibt an, wie steif ein Werkstoff ist. Im elastischen Bereich ist die Verformung proportional zur Last.
• Ein erwärmter oder abgekühlter Stab ändert seine Länge um ΔL = αL₀ΔT; ist er eingespannt, entsteht stattdessen Spannung.

Wichtige Gleichungen

• σ = F ÷ A
• ε = ΔL ÷ L₀
• E = σ ÷ ε
• ΔL = αL₀ΔT
• gear ratio = N₂ ÷ N₁

Durchgerechnetes Beispiel

Ein 2,0 m langer Stahlstab mit 10 mm Durchmesser trägt 20 kN (E = 200 GPa). A = π × (0,005 m)² = 7,85 × 10⁻⁵ m². σ = 20 000 ÷ 7,85 × 10⁻⁵ = 2,5 × 10⁸ Pa. ε = σ ÷ E = 2,5 × 10⁸ ÷ 2,0 × 10¹¹ = 1,3 × 10⁻³, also dehnt sich der Stab um ΔL = 1,3 × 10⁻³ × 2,0 m = 2,5 mm.

Häufige Fehler

• Bei der Fläche eines runden Stabs den Durchmesser statt des Radius einsetzen.
• mm² mit m² oder MPa mit Pa mischen. Rechne zuerst alles in SI-Einheiten um.
• Den Elastizitätsmodul jenseits der Elastizitätsgrenze anwenden, wo sich der Werkstoff bleibend verformt.

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