Напряжение, деформация и конструкции: учебное руководство

Главные идеи

Материалы и конструкции описывают через напряжение и деформацию. Напряжение — это сила на единицу площади, деформация — относительное изменение размеров, а для данного материала их отношение — постоянная, называемая модулем.

• Напряжение равно σ = F ÷ A, в паскалях. Берите площадь сечения, воспринимающего нагрузку.
• Относительная деформация равна ε = ΔL ÷ L₀. Она безразмерна и часто дана в процентах.
• Модуль Юнга E = σ ÷ ε показывает жёсткость материала. В пределах упругости деформация пропорциональна нагрузке.
• Нагретый или охлаждённый стержень меняет длину на ΔL = αL₀ΔT, а закреплённая конструкция вместо этого получает напряжение.

Основные формулы

• σ = F ÷ A
• ε = ΔL ÷ L₀
• E = σ ÷ ε
• ΔL = αL₀ΔT
• gear ratio = N₂ ÷ N₁

Разобранный пример

Стальной стержень длиной 2,0 м и диаметром 10 мм несёт нагрузку 20 кН (E = 200 ГПа). A = π × (0,005 м)² = 7,85 × 10⁻⁵ м². σ = 20 000 ÷ 7,85 × 10⁻⁵ = 2,5 × 10⁸ Па. ε = σ ÷ E = 2,5 × 10⁸ ÷ 2,0 × 10¹¹ = 1,3 × 10⁻³, поэтому стержень удлиняется на ΔL = 1,3 × 10⁻³ × 2,0 м = 2,5 мм.

Частые ошибки

• Подстановка диаметра вместо радиуса при расчёте площади круглого стержня.
• Смешивание мм² с м² или МПа с Па. Сначала переведите всё в единицы СИ.
• Применение модуля Юнга за пределом упругости, где материал деформируется необратимо.

Практика

Проверьте себя на тренировочных вопросах по этой теме: Напряжение, деформация и конструкции